Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova l'inverso di $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

È possibile trovare l'inverso di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ in cui $a d - b c$ è il determinante.

Passaggio 1.2

Trova il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Scomponi $8$ da $32$ .

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Passaggio 1.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

Passaggio 1.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{5}$ nel numeratore.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

Passaggio 1.2.2.1.2.2

Scomponi $5$ da $10$ .

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

Passaggio 1.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Passaggio 1.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$4 - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$4 - 6$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$- 2$

Passaggio 1.3

Poiché il determinante è diverso da zero, esiste l'inverso.

Passaggio 1.4

Sostituisci i valori noti nella formula con l'inverso.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Passaggio 1.6

Moltiplica $- \frac{1}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.2.2

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.2.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.2.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.4.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Passaggio 1.7.5.2

Scomponi $2$ da $32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

Passaggio 1.7.5.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

Passaggio 1.7.5.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

Passaggio 1.7.6

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati per l'inverso di $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3

Semplifica l'equazione.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

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Passaggio 3.1.1

Due matrici possono essere moltiplicate se e solo se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. In questo caso, la prima matrice è $2 \times 2$ e la seconda matrice è $2 \times 2$ .

Passaggio 3.1.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.1.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.2

Moltiplicare la matrice identità per qualsiasi matrice $A$ dà come risultato la matrice stessa $A$ .

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Passaggio 3.3.2

Moltiplica ogni riga nella prima matrice per ogni colonna nella seconda matrice.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ogni elemento della matrice moltiplicando tutte le espressioni.

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$